Calcolo Esempi

$(1 - x^{2} y) d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 1 - x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2} y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x^{2} y$ rispetto a $y$ è $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2} \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2}$

Passaggio 1.4

Sottrai $x^{2}$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} (y - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} (y - x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y - x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \frac{d}{d x} [y - x] + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (- 1 \cdot 1) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \cdot - 1 + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x^{2} + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.6.3

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (y - x) (2 x)$

Passaggio 2.3.8

Sposta $2$ alla sinistra di $y - x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 \cdot (y - x) x$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (2 y + 2 (- x)) x$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x + 2 (- x) x$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x \cdot x$

Passaggio 2.4.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 (x^{1} x)$

Passaggio 2.4.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 (x^{1} x^{1})$

Passaggio 2.4.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x^{1 + 1}$

Passaggio 2.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x^{2}$

Passaggio 2.4.3.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 2 y x$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 2 x y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- x^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 3 x^{2} + 2 x y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- x^{2} = - 3 x^{2} + 2 x y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- x^{2} = - 3 x^{2} + 2 x y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- x^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- 3 x^{2} + 2 x y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2} + 2 x y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x^{2} (y - x)$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x^{2} (y - x)$ a $N$ .

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2} + 2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2}) - (2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} - (2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} - 2 (x y)}{x^{2} (y - x)}$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $- x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x^{2} (y - x)}$

Passaggio 4.3.2.5

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2} - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x^{2} (y - x)}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x y$ .

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x^{2} (y - x)}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x) + 2 x (- y)$ .

$\frac{2 x (x - y)}{x^{2} (y - x)}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $x$ da $2 x (x - y)$ .

$\frac{x (2 (x - y))}{x^{2} (y - x)}$

Passaggio 4.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (y - x)$ .

$\frac{x (2 (x - y))}{x (x (y - x))}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 (x - y))}{x (x (y - x))}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (x - y)}{x (y - x)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $x - y$ e $y - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$\frac{2 (- 1 (- x) - y)}{x (y - x)}$

Passaggio 4.3.4.2

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{2 (- 1 (- x) - (y))}{x (y - x)}$

Passaggio 4.3.4.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (y - x)}$

Passaggio 4.3.4.4

Riordina i termini.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (- x + y)}$

Passaggio 4.3.4.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (- x + y)}$

Passaggio 4.3.4.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Passaggio 4.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| x |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(1 - x^{2} y) d x + x^{2} (y - x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $1 - x^{2} y$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(1 - x^{2} y) \frac{1}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $1 - x^{2} y$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x^{2} (y - x)$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + (y - x) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = y - x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Passaggio 8.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Passaggio 8.4

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 11.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Poiché $\frac{1}{2} y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Sottrai $y$ da $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Passaggio 12.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Dividi la frazione $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Passaggio 12.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Passaggio 12.1.2.2.1.2

Dividi $- 1 y$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Passaggio 12.1.2.2.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Somma $- y$ e $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{x^{2}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 13.3

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 13.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 13.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 13.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Passaggio 13.6

Riscrivi $- x^{- 1} + C$ come $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 15

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$