Calcolo Esempi

$(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Passaggio 1.3.2

Dividi $e^{- x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = e^{- x}$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{x y}{x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x}{x - 1} = e^{- x}$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{x}{x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{x - 1} y = e^{- x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{x}{x - 1} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{x}{x - 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Dividi $x$ per $x - 1$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Passaggio 2.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Passaggio 2.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Passaggio 2.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x - 1} d x}$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Passaggio 2.2.4

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.2.4.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 2.2.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$e^{x + \ln (| x - 1 |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x + \ln (x - 1)}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{x}{x - 1} y) = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{x}{x - 1}$ e $y$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} \frac{x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.2.2

$e^{x + \ln (x - 1)}$ e $\frac{x y}{x - 1}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $e^{x + \ln (x - 1)}$ da $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $e^{x + \ln (x - 1)}$ da $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi $e^{x + \ln (x - 1)}$ da $e^{x + \ln (x - 1)} x y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $e^{x + \ln (x - 1)}$ da $e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1) + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.5.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - 1 \cdot \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi $- 1 \frac{d y}{d x}$ come $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $e^{x + \ln (x - 1)}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.6.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1) - x}$

Passaggio 3.6.2

Combina i termini opposti in $x + \ln (x - 1) - x$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{0 + \ln (x - 1)}$

Passaggio 3.6.2.2

Somma $0$ e $\ln (x - 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{\ln (x - 1)}$

Passaggio 3.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

Passaggio 3.8

Riordina i fattori in $\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] = x - 1$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] d x = \int x - 1 d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x - 1 d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Passaggio 7.3

Applica la regola costante.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Passaggio 7.4

Semplifica.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{x + \ln (x - 1)}$ ciascun termine in $e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{x + \ln (x - 1)}$ ciascun termine in $e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Passaggio 8.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Passaggio 8.3.1.3

Combina.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Passaggio 8.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} - \frac{x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$