Calcolo Esempi

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $4 x y$ ciascun termine in $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $4 x y$ ciascun termine in $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.2.1

Scomponi $y$ da $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} + \frac{- 1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} - \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $\frac{y}{4 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $\frac{y}{4 x}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} - \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.4.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.4.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{4 x y}$

Passaggio 1.2.4.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 x y}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $4 y$ da $4 y x$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y (x)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $(y + 1) (y - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = (y + 1) (y - 1)$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = (y + 1) (y - 1)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y + 1$ e $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.3.4.2

Moltiplica $y + 1$ per $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.2.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 2.2.2.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 2.2.2.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Passaggio 2.2.2.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.3.8.2

Moltiplica $y - 1$ per $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Passaggio 2.2.2.1.3.8.3

Somma $y$ e $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Passaggio 2.2.2.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 y + 0$

Passaggio 2.2.2.1.3.8.4.2

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(y + 1) (y - 1)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$