Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 y^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.2.2

$3$ e $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 3$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 3 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int 3 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{\frac{2}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int 3 d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int 3 d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int 3 d x$

Passaggio 2.2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int 3 d x$

Passaggio 2.2.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int 3 d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- \frac{2}{3}}$ rispetto a $y$ è $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 3 d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 3 x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $y^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = x + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica.

$y = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${(x + \frac{K}{3})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$y = x^{3} + 3 (x^{2}) \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{K}{3}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.3.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 (x) \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3.2

Scomponi $3$ da $3^{2}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 (x) \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y = x^{3} + x^{2} K + x \frac{K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

$x$ e $\frac{K^{2}}{3}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{K}{3}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.6

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Passaggio 3.4

Semplifica $x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina $x^{2}$ e $K$ .

$y = x^{3} + K x^{2} + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Passaggio 3.4.2

Riordina $x$ e $K^{2}$ .

$y = x^{3} + K x^{2} + \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Passaggio 3.4.3

Sposta $x^{3}$ .

$y = K x^{2} + \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27} + x^{3}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $K x^{2}$ .

$y = \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27} + K x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.5

Riordina $\frac{K^{2} x}{3}$ e $\frac{K^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{3} + K x^{2} + x^{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = K + \frac{K x}{3} + K x^{2} + x^{3}$