Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = e^{t} {(y - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} (e^{t} {(y - 1)}^{2})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di ${(y - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi ${(y - 1)}^{2}$ da $e^{t} {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} e^{t})$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} e^{t})$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = e^{t}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = e^{t} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int e^{t} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y - 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y - 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int e^{t} d t$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int e^{t} d t$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int e^{t} d t$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int e^{t} d t$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $- u^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Passaggio 2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Passaggio 2.3

L'integrale di $e^{t}$ rispetto a $t$ è $e^{t}$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = e^{t} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y - 1$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y - 1$ ciascun termine in $- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$ per $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y - 1}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = e^{t} y + e^{t} \cdot - 1 + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{t}$ .

$- 1 = e^{t} y - 1 \cdot e^{t} + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi $- 1 e^{t}$ come $- e^{t}$ .

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y + K \cdot - 1$

Passaggio 3.2.3.1.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $K$ .

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y - 1 \cdot K$

Passaggio 3.2.3.1.6

Riscrivi $- 1 K$ come $- K$ .

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y - K$

Passaggio 3.2.3.2

Riordina i fattori in $e^{t} y - e^{t} + K y - K$ .

$- 1 = y e^{t} - e^{t} + K y - K$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $y e^{t} - e^{t} + K y - K = - 1$ .

$y e^{t} - e^{t} + K y - K = - 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $e^{t}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{t} + K y - K = - 1 + e^{t}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $K$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{t} + K y = - 1 + e^{t} + K$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $y$ da $y e^{t} + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $y$ da $y e^{t}$ .

$y (e^{t}) + K y = - 1 + e^{t} + K$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y (e^{t}) + y K = - 1 + e^{t} + K$

Passaggio 3.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (e^{t}) + y K$ .

$y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$

Passaggio 3.3.4

Dividi per $e^{t} + K$ ciascun termine in $y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Dividi per $e^{t} + K$ ciascun termine in $y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$ .

$\frac{y (e^{t} + K)}{e^{t} + K} = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{t} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (e^{t} + K)}{e^{t} + K} = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 1 + e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 1 + e^{t} + K}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) + e^{t} + K}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3.5

Scomponi $- 1$ da $e^{t}$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{t}) + K}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- e^{t})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t}) + K}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3.7

Scomponi $- 1$ da $K$ .

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t}) - 1 (- K)}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1 - e^{t}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t} - K)}{e^{t} + K}$

Passaggio 3.3.4.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1 - e^{t} - K}{e^{t} + K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{1 - e^{t} + K}{e^{t} + K}$