Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 5$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (1 + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $5$ in $y = x + \ln (| x |) + C$ .

$5 = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $1 + \ln (| 1 |) + C = 5$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = 5$

Passaggio 4.2

Semplifica $1 + \ln (| 1 |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$1 + \ln (1) + C = 5$

Passaggio 4.2.1.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$1 + 0 + C = 5$

Passaggio 4.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$1 + C = 5$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 5 - 1$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $1$ da $5$ .

$C = 4$

Passaggio 5

Sostituisci $4$ a $C$ in $y = x + \ln (| x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $4$ a $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + 4$