Calcolo Esempi

$x (x + 2 y) d y + (4 x y + 3 y^{2} - x) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 4 x y + 3 y^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + 3 y^{2} - x]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x y + 3 y^{2} - x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 x y$ rispetto a $y$ è $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $4 x + 6 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x (x + 2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y] + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \cdot 1$

Passaggio 3.3.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Moltiplica $x + 2 y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y$

Passaggio 3.3.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $4 x + 6 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $4 x + 6 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $2 x + 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x (x + 2 y)$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x (x + 2 y)$ a $N$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x + 6 y - (2 x) - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.4

Sottrai $2 x$ da $4 x$ .

$\frac{2 x + 6 y - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.5

Sottrai $2 y$ da $6 y$ .

$\frac{2 x + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.6

Scomponi $2$ da $2 x + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.6.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.6.2

Scomponi $2$ da $4 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.6.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Passaggio 6.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Passaggio 6.4.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $4 x y + 3 y^{2} - x$ per $x^{2}$ .

$(4 x y + 3 y^{2} - x) x^{2} d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(4 x^{2 + 1} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.3.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x)) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.3.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x^{1})) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{2 + 1}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.3.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $x (x + 2 y)$ per $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) x^{2} d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x^{1} (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2 + 1} (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{3} (x + 2 y) d y = 0$

Passaggio 7.6

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Passaggio 7.7

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x^{1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Passaggio 7.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3 + 1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Passaggio 7.7.2

Somma $3$ e $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Passaggio 7.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 2 x^{3} y d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = x^{4} + 2 x^{3} y$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x^{4} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Passaggio 9.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x^{4} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Passaggio 9.3

Poiché $2 x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2 x^{3}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Passaggio 9.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 9.5

Semplifica.

$f (x, y) = x^{4} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Passaggio 9.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Passaggio 9.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Passaggio 9.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = x^{4} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Passaggio 9.6.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{4} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 12.3.3

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 12.4

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{3} y^{2}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y x^{3} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 12.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 y x^{3} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 12.4.3

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 12.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 12.6

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sottrai $4 x^{3} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $3 x^{2} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$

Passaggio 13.1.3

Combina i termini opposti in $4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Sottrai $4 x^{3} y$ da $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Passaggio 13.1.3.2

Somma $3 y^{2} x^{2} - x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Passaggio 13.1.3.3

Riordina i fattori nei termini di $3 y^{2} x^{2}$ e $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Passaggio 13.1.3.4

Sottrai $3 x^{2} y^{2}$ da $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3} + 0$

Passaggio 13.1.3.5

Somma $- x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- x^{3}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{3} d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{3} d x$

Passaggio 14.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int x^{3} d x$

Passaggio 14.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Passaggio 14.5

Riscrivi $- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ come $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 16

$x^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C$