Calcolo Esempi

$(x^{3} + y^{3}) d y - x^{2} (y d) x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$- x^{2} y d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - x^{2} y$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Passaggio 2.2

Poiché $- x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x^{2} y$ rispetto a $y$ è $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2}$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{3} + y^{3}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 3.4

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

Passaggio 3.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $- x^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- x^{2} = 3 x^{2}$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- x^{2} = 3 x^{2}$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $3 x^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $- x^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} - - x^{2}}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $- x^{2} y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $- x^{2} y$ a $M$ .

$\frac{3 x^{2} - - x^{2}}{- x^{2} y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2} - - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 - - x^{2}}{- x^{2} y}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- - x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- - 1)}{- x^{2} y}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- - 1)$ .

$\frac{x^{2} (3 - - 1)}{- x^{2} y}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 + 1)}{- x^{2} y}$

Passaggio 5.3.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{- x^{2} y}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \cdot 4}{- x^{2} y}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{- 1 y}$

Passaggio 5.3.4

Sostituisci $- x^{2} y$ a $M$ .

$- \frac{4}{y}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Passaggio 6.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 4 \ln (| y |)$ spostando $- 4$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Passaggio 6.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{- 4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Passaggio 6.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $- x^{2} y d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{4}}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- x^{2} y$ per $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- x^{2} y \frac{1}{y^{4}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $y$ da $- x^{2} y$ .

$y (- x^{2}) \frac{1}{y^{4}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 7.2.2

Scomponi $y$ da $y^{4}$ .

$y (- x^{2}) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune.

$y (- x^{2}) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 7.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- x^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{y^{3}}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $x^{3} + y^{3}$ per $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $x^{3} + y^{3}$ per $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + \frac{x^{3} + y^{3}}{y^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.6

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = y$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x^{2}}{y^{3}} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int \frac{x^{2}}{y^{3}} d x$

Passaggio 9.2

Poiché $\frac{1}{y^{3}}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{y^{3}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - (\frac{1}{y^{3}} \int x^{2} d x)$

Passaggio 9.3

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} \int x^{2} d x$

Passaggio 9.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 9.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.5.1

Riscrivi $- \frac{1}{y^{3}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $- \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 9.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3 y^{3}} x^{3} + C$

Passaggio 9.5.2.2

$x^{3}$ e $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}]$ .

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Passaggio 12.3.1

Poiché $- \frac{x^{3}}{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ rispetto a $y$ è $- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}]$ .

$- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y^{3}}$ come ${(y^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [{(y^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{3}$ .

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Passaggio 12.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y^{3}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{3}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- {(y^{3})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- {(y^{3})}^{- 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 12.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- y^{3 \cdot - 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- y^{- 6} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{- 6} y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.7

Moltiplica $y^{- 6}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.3.7.1

Sposta $y^{2}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 (y^{2} y^{- 6})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{2 - 6}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.8

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$3 \frac{x^{3}}{3} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.9

$3$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.10

$\frac{3 x^{3}}{3}$ e $y^{- 4}$ .

$\frac{3 x^{3} y^{- 4}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.11

Sposta $y^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3 y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.12

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.12.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{3}}{3 y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.3.12.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3}}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{3}}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 12.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{4}} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Sottrai $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{4}} - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} + (- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.2

Espandi $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x \cdot x^{2} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x^{1}) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{2 + 1} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - (x \cdot x) (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x^{2} (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.5

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.6.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y^{2} (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.9

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.10

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.10.1

Sposta $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y)}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.10.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.10.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y^{1})}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{2 + 1}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.4

Combina i termini opposti in $- x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.4.1

Riordina i fattori nei termini di $x^{2} y$ e $- y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - x^{2} y + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.4.2

Sottrai $x^{2} y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + 0 + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.4.3

Somma $- x^{3} - x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.4.4

Riordina i fattori nei termini di $- x y^{2}$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{2} x + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.4.5

Somma $- y^{2} x$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 0 - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.4.6

Somma $- x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4

Sottrai $x^{3}$ da $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5

Sottrai $y^{3}$ da $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{3}}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ e $y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.6.1.1

Scomponi $y^{3}$ da $- y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.6.1.2.1

Scomponi $y^{3}$ da $y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{3} y} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{3} y} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Passaggio 13.1.2

Somma $\frac{1}{y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{y}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 14.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + \ln (| y |) + C$