Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Combina.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di ${(1 - 3 y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 1 - 3 y$ . Allora $d u = - 3 d y$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 1 - 3 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $1 - 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 3 y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 3 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $y$ è $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$0 - 3$

Passaggio 2.2.1.1.4

Sottrai $3$ da $0$ .

$- 3$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1})$ come $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7.2.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 3 y$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 (1 - 3 y), 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$3 (1 - 3 y)$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $3 (1 - 3 y)$ ciascun termine in $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ per $3 (1 - 3 y)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} (3 (1 - 3 y)) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $1 - 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 3 \ln (| x |) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.3.1.2

Semplifica $3 \ln (| x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) \cdot 1 + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.3.1.4

Moltiplica $\ln ({| x |}^{3})$ per $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.3.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - 3 \ln ({| x |}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.3.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.6.1

Semplifica $- 3 \ln ({| x |}^{3})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({({| x |}^{3})}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.3.1.6.2

Moltiplica gli esponenti in ${({| x |}^{3})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{3 \cdot 3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.3.1.6.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Passaggio 3.2.3.1.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C (1 - 3 y)$

Passaggio 3.2.3.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C \cdot 1 + 3 C (- 3 y)$

Passaggio 3.2.3.1.9

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 C (- 3 y)$

Passaggio 3.2.3.1.10

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 \cdot - 3 C y$

Passaggio 3.2.3.1.11

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$

Passaggio 3.2.3.2

Riordina i fattori in $\ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$ .

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) = - 3 C + 9 C y + 1$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $9 C y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1$

Passaggio 3.3.4

Sottrai $\ln ({| x |}^{3})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Passaggio 3.3.5

Scomponi $y$ da $- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Scomponi $y$ da $- y \ln ({| x |}^{9})$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Passaggio 3.3.5.2

Scomponi $y$ da $- 9 C y$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Passaggio 3.3.5.3

Scomponi $y$ da $y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C)$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi $- 1 \ln ({| x |}^{9})$ come $- \ln ({| x |}^{9})$ .

$y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Passaggio 3.3.7

Dividi per $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ ciascun termine in $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Dividi per $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ ciascun termine in $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ .

$\frac{y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C)}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.3.7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 3 C + 1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 C$ .

$y = \frac{- (3 C) + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.3.2.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (3 C) - 1 (- 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 C) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})$ .

$y = \frac{- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.3.2.7

Riscrivi $- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ come $- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Passaggio 3.3.7.3.2.8

Scomponi $- 1$ da $- 9 C$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)}$

Passaggio 3.3.7.3.2.9

Scomponi $- 1$ da $- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Passaggio 3.3.7.3.2.10

Riscrivi $- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ come $- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Passaggio 3.3.7.3.2.11

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Passaggio 3.3.7.3.2.12

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + 9 C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + C}$