Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y}{x}$

Passaggio 1.1.3.2

Per scrivere $- y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y \cdot \frac{y + 1}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

$- y$ e $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} + \frac{- y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y \cdot y - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - (y \cdot y) - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.4.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.4.4

Sottrai $y$ da $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2} + 0}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.4.5

Somma $- 1 - y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2}}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1.3.5.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - y^{2}}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - (y^{2})}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1 + y^{2})}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- \frac{1 + y^{2}}{y + 1}}{x}$

Passaggio 1.1.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{x (y + 1)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (- \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

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Passaggio 1.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- (y + 1)}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Passaggio 1.4.3.2

Scomponi $y + 1$ da $- (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Passaggio 1.4.3.3

Scomponi $y + 1$ da $(y + 1) x$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) (x)}$

Passaggio 1.4.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Passaggio 1.4.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Passaggio 1.4.4

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Passaggio 1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi la frazione $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ in due frazioni.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Differenzia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Passaggio 2.2.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Passaggio 2.2.3.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.8

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \arctan (y) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.9

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) = - \ln (| x |) + C$