Calcolo Esempi

$2 x y d y + (x^{2} - y^{2}) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$(x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Passaggio 2.4

Sottrai $2 y$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 3.2

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 y = 2 y$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 2 y = 2 y$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $2 x y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $2 x y$ a $N$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{2 x y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y$ da $- 2 y - 1 \cdot 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $y$ da $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y (- 2 - 2)}{2 x y}$

Passaggio 5.3.2.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4}{2 x}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Passaggio 5.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x)}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Passaggio 5.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{x}$

Passaggio 5.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 6.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| x |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Passaggio 6.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Passaggio 6.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $x^{2} - y^{2}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $x^{2} - y^{2}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Passaggio 7.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $2 x y$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 x y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.5.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.5.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 7.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 7.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 y \frac{1}{x} d y = 0$

Passaggio 7.6

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + y \frac{2}{x} d y = 0$

Passaggio 7.7

$y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + \frac{y \cdot 2}{x} d y = 0$

Passaggio 7.8

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + \frac{2 y}{x} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y}{x} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = \frac{2 y}{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Poiché $\frac{2}{x}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{2}{x}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{2}{x} \int y d y$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 9.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.3.1

Riscrivi $\frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x \cdot 2} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot x} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.3

Moltiplica $2$ per $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.5

$\frac{1}{x}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y^{2}}{x} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y^{2}}{x}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

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Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Passaggio 12.5.2

$y^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Passaggio 12.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Sottrai $\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x + y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + (- x - y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.2

Espandi $(- x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 13.1.1.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x (x - y) - y (x - y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y (x - y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 1 x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.1.6.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.1.8

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.2

Sottrai $y x$ da $x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.3.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - 1 x y + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.2.2

Sottrai $x y$ da $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 0 + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3.3

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4

Combina i termini opposti in $- y^{2} - x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.4.1

Somma $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Passaggio 13.1.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $1$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Passaggio 14.3

Applica la regola costante.

$g (x) = x + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + x + C$