Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(x^{2} + x)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} + x}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} + x}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + x}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x}$

Passaggio 1.2.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Passaggio 1.2.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (x + 1)}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.5.1.2

Dividi $A (x + 1)$ per $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.5.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.5.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.1.5.4.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Passaggio 2.3.1.1.6

Sposta $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Passaggio 2.3.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 2.3.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 2.3.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Passaggio 2.3.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Passaggio 2.3.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Passaggio 2.3.1.3.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Passaggio 2.3.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 A = 1$

Passaggio 2.3.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, A = 1$

Passaggio 2.3.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Passaggio 2.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) - \ln (| u |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.8

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (\frac{| x |}{| u |}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\frac{| x |}{| x + 1 |}}) = C$

Passaggio 3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (| y | (\frac{| x + 1 |}{| x |})) = C$

Passaggio 3.4

Moltiplica $| y | \frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

$| y |$ e $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$\ln (\frac{| y | | x + 1 |}{| x |}) = C$

Passaggio 3.4.2

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |}) = C$

Passaggio 3.5

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |})} = e^{C}$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y (x + 1) |}{| x |}$

Passaggio 3.7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y (x + 1) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} = e^{C}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Semplifica $\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.7.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y (x + 1) | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.7.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y x + y \cdot 1 | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.7.3.1.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$| y x + y | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.7.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} | x |$ .

$| y x + y | = | x | e^{C}$

Passaggio 3.7.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm | x | e^{C}$

Passaggio 3.7.4.3

Riordina i fattori in $\pm | x | e^{C}$ .

$y x + y = \pm e^{C} | x |$

Passaggio 3.7.4.4

Scomponi $y$ da $y x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.4.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{C} | x |$

Passaggio 3.7.4.4.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{C} | x |$

Passaggio 3.7.4.4.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{C} | x |$

Passaggio 3.7.4.4.4

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$

Passaggio 3.7.4.5

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.5.1

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Passaggio 3.7.4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Passaggio 3.7.4.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\pm C | x |}{x + 1}$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \frac{C | x |}{x + 1}$