Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{y}$ , $y (0) = - 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = x \sin (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int x \sin (x) d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $\int \cos (x) d x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Riscrivi $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ come $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} = - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $2$ da $2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $2$ da $2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Passaggio 4

Poiché $y$ è negativa nella condizione iniziale $(0, - 1)$ , considera solo $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $0$ a $x$ e $- 1$ a $y$ .

$- 1 = - \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$ .

$- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$

Passaggio 5.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$ come ${(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

${(- {(2 (0 \cdot 1 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

${(- {(2 (0 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

${(- {(2 (0 + 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Combina i termini opposti in $0 + 0 + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.1

Somma $0$ e $0$ .

${(- {(2 (0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.2

Somma $0$ e $K$ .

${(- {(2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 K$ .

${(- (2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $- 2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $- 2^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.5

Moltiplica ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.6

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{1} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.7

Calcola l'esponente.

$2 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 K^{1} = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.9

Semplifica.

$2 K = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$2 K = 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 K = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 K = 1$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{1}{2}$ a $K$ in $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci $\frac{1}{2}$ a $K$ .

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + \frac{1}{2})}$