Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ , $y (0) = 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

$2$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Passaggio 3.4.5

$2$ e $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 3.4.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.4.8.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Passaggio 3.4.9.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

Passaggio 5

Poiché $y$ è positiva nella condizione iniziale $(0, 3)$ , considera solo $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $0$ a $x$ e $3$ a $y$ .

$3 = \frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{\sqrt{6 (0 + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Passaggio 6.3.1.1.1.2

Somma $0$ e $K$ .

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Passaggio 6.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{6 K} = 3 \cdot 3$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\sqrt{6 K} = 9$

Passaggio 6.4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{6 K}}^{2} = 9^{2}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 K}$ come ${(6 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Semplifica ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Passaggio 6.4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Passaggio 6.4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(6 K)}^{1} = 9^{2}$

Passaggio 6.4.2.2.1.2

Semplifica.

$6 K = 9^{2}$

Passaggio 6.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$6 K = 81$

Passaggio 6.4.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 K = 81$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 K = 81$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Passaggio 6.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Passaggio 6.4.3.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{81}{6}$

Passaggio 6.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.3.1

Elimina il fattore comune di $81$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.3.1.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$K = \frac{3 (27)}{6}$

Passaggio 6.4.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Passaggio 6.4.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Passaggio 6.4.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$K = \frac{27}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{27}{2}$ a $K$ in $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $\frac{27}{2}$ a $K$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + \frac{27}{2})}}{3}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Per scrivere $x^{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Passaggio 7.2.2

$x^{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Passaggio 7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{x^{3} \cdot 2 + 27}{2}}}{3}$

Passaggio 7.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{2 x^{3} + 27}{2}}}{3}$

Passaggio 7.2.5

$6$ e $\frac{2 x^{3} + 27}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}}}{3}$

Passaggio 7.2.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Riduci l'espressione $\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1.1

Scomponi $2$ da $6 (2 x^{3} + 27)$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2}}}{3}$

Passaggio 7.2.6.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 (1)}}}{3}$

Passaggio 7.2.6.1.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 \cdot 1}}}{3}$

Passaggio 7.2.6.1.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt{\frac{3 (2 x^{3} + 27)}{1}}}{3}$

Passaggio 7.2.6.2

Dividi $3 (2 x^{3} + 27)$ per $1$ .

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} + 27)}}{3}$