Calcolo Esempi

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \sin (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

Passaggio 1.2

Poiché $\sin (3 x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\sin (3 x)$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

Passaggio 2.2

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y \cos^{3} (3 x)$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.5.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.6.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

Passaggio 2.6.5

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $2 y \cos^{3} (3 x)$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2 y \cos^{3} (3 x)$ a $N$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Riordina i termini.

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.2.2

Scomponi $2$ da $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.2.3

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.2.4

Scomponi $2$ da $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Scomponi $2$ da $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ e $0$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (3 x)$ e $\cos^{3} (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $\cos^{2} (3 x)$ da $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

Passaggio 4.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Scomponi $\cos^{2} (3 x)$ da $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Passaggio 4.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Passaggio 4.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Passaggio 4.3.6

Frazioni separate.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Passaggio 4.3.7

Converti da $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a $\tan (3 x)$ .

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

Passaggio 4.3.8

Dividi $9$ per $1$ .

$9 \tan (3 x)$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

Passaggio 5.2

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

Passaggio 5.3

$\tan (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

Passaggio 5.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

$\frac{1}{3}$ e $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

Passaggio 5.5.2

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

Passaggio 5.5.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

Passaggio 5.6

L'integrale di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\ln (| \sec (u) |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

Passaggio 5.7

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

Passaggio 5.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

Passaggio 5.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Semplifica $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

Passaggio 5.9.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\sec^{3} (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\sin (3 x)$ per $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\sec (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.5

$\sin (3 x)$ e $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.6

Scomponi $\cos (3 x)$ da $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.7

Frazioni separate.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.8

Converti da $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.9

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.10

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.11

Converti da $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.12

Moltiplica $2 y \cos^{3} (3 x)$ per $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

Passaggio 6.13

Riscrivi $\sec (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

Passaggio 6.14

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Passaggio 6.15

Elimina il fattore comune di $\cos^{3} (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.15.1

Scomponi $\cos^{3} (3 x)$ da $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Passaggio 6.15.2

Elimina il fattore comune.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Passaggio 6.15.3

Riscrivi l'espressione.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

Passaggio 6.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

Passaggio 6.17

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = 2 y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 \int y d y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$f (x, y) = y^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 11.3

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 11.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 12

Trova l'antiderivata di $\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Passaggio 12.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Passaggio 12.3

Sia $u_{2} = \sec (3 x)$ . Allora $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Sia $u_{2} = \sec (3 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Differenzia $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Passaggio 12.3.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 12.3.1.2.2

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 12.3.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 12.3.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12.3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Passaggio 12.3.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.3.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Passaggio 12.3.1.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 12.4

$u_{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Passaggio 12.5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 12.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 12.7

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 12.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.8.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 12.8.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 12.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (3 x)$ .

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Passaggio 13

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Passaggio 14

$\frac{1}{6}$ e $\sec^{2} (3 x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$