Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{x (y - 1)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{y - 1}{y (y - 2)}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} (\frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{y (y - 2)}{y - 1}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y - 1$ da $(y - 1) x$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) (x)}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y (y - 2)$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Passaggio 1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = y (y - 2)$ . Allora $d u = (2 y - 2) d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (y - 1) d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y (y - 2)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [y (y - 2)]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = y - 2$ .

$y \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.4.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y + (y - 2) \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.6

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.2.1.1.3.6.1

Moltiplica $y - 2$ per $1$ .

$y + y - 2$

Passaggio 2.2.1.1.3.6.2

Somma $y$ e $y$ .

$2 y - 2$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) = \ln (| x |) + C$