Calcolo Esempi

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $(1 + x^{2}) y$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Passaggio 1.6

Somma $0$ e $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Passaggio 1.7

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Passaggio 1.8

Riordina $1$ e $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Passaggio 1.9

Rimuovi le parentesi.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Passaggio 1.10

Sposta $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = x$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int x d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$(1 + x^{2}) y = \int x d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 6

Dividi per $1 + x^{2}$ ciascun termine in $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $1 + x^{2}$ ciascun termine in $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Per scrivere $\frac{C}{1 + x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 (1 + x^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $\frac{C}{1 + x^{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x^{2}) \cdot 2}$

Passaggio 6.3.3.2

Riordina i fattori di $(1 + x^{2}) \cdot 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Passaggio 6.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Passaggio 6.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{x^{2} + 2 C}{2 (1 + x^{2})}$