Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (\frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Passaggio 1.2.2

Combina.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ da $3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Passaggio 1.2.3.2

Scomponi $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ da $x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

Passaggio 1.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

Passaggio 1.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3} x$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x$

Passaggio 1.2.5

$\frac{2}{3}$ e $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $9 y^{2}$ come ${(3 y)}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 y)}^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = 3 y$ . Allora $d u = 3 d y$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = 3 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (u)$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (u) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{3} \arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 y$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica per $3$ ciascun termine in $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ per $3$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1.2.1

$\frac{1}{3}$ e $\arcsin (3 y)$ .

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Passaggio 3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.3.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{2}$ .

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

Passaggio 3.1.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

Passaggio 3.1.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (3 y) = x^{2} + K \cdot 3$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$\arcsin (3 y) = x^{2} + 3 K$

Passaggio 3.2

Trova l'arcoseno inverso di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dall'interno dell'arcoseno.

$3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$

Passaggio 3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sin (x^{2} + K)}{3}$