Calcolo Esempi

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} = 6 y - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $6 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.2

Dividi per $3 x - 1$ ciascun termine in $(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Passaggio 1.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Passaggio 1.4

Scomponi $3 x - 1$ da $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{3 x - 1}$

Passaggio 1.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}}{1}$

Passaggio 1.5.4

Dividi $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$

Passaggio 1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 1.7

Scomponi $y$ da $\frac{- 6 y}{3 x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 1.8

Riordina $y$ e $\frac{- 6}{3 x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{3 x - 1} y = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 6}{3 x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 6}{3 x - 1} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 6}{3 x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\int - \frac{6}{3 x - 1} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{6}{3 x - 1} d x}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$e^{- (6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x)}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x}$

Passaggio 2.2.5

Sia $u = 3 x - 1$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Sia $u = 3 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Differenzia $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Passaggio 2.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.2.5.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u}$

Passaggio 2.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 u} d u}$

Passaggio 2.2.7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

$\frac{1}{3}$ e $- 6$ .

$e^{\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.8.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.8.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 2.2.10

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 1$ .

$e^{- 2 \ln (| 3 x - 1 |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (3 x - 1)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(3 x - 1)}^{- 2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(3 x - 1)}^{- 2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- \frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 3.2.4

$\frac{6}{3 x - 1}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{6 y}{3 x - 1}$ per $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $3 x - 1$ per ${(3 x - 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Moltiplica $3 x - 1$ per ${(3 x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1.1

Eleva $3 x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 3.2.5.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - 10 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 3.4

$- 10$ e $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di ${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi ${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ da ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] d x = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \int \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Passaggio 7.2

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - (10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x)$

Passaggio 7.3

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Passaggio 7.4

Sia $u = 3 x - 1$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sia $u = 3 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Differenzia $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Passaggio 7.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 7.4.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 7.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}} \cdot 3} d u$

Passaggio 7.5.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{3 u^{\frac{8}{3}}} d u$

Passaggio 7.6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u)$

Passaggio 7.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1.1

$\frac{1}{3}$ e $- 10$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{- 10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

Passaggio 7.7.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

Passaggio 7.7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.2.1

Sposta $u^{\frac{8}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.7.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.7.2.2.2

Moltiplica $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.2.2.2.1

$\frac{8}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8 \cdot - 1}{3}} d u$

Passaggio 7.7.2.2.2.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 8}{3}} d u$

Passaggio 7.7.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{- \frac{8}{3}} d u$

Passaggio 7.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{8}{3}}$ rispetto a $u$ è $- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$

Passaggio 7.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Riscrivi $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$ come $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$

Passaggio 7.9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}$ per $\frac{3}{5}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{u^{\frac{5}{3}} \cdot 5}) + C$

Passaggio 7.9.2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5 \cdot u^{\frac{5}{3}}}) + C$

Passaggio 7.9.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = 1 (\frac{10}{3}) \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Passaggio 7.9.2.4

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Passaggio 7.9.2.5

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $\frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10 \cdot 3}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

Passaggio 7.9.2.6

Moltiplica $10$ per $3$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

Passaggio 7.9.2.7

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Passaggio 7.9.2.8

Scomponi $15$ da $30$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Passaggio 7.9.2.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.2.9.1

Scomponi $15$ da $15 u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 (u^{\frac{5}{3}})} + C$

Passaggio 7.9.2.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Passaggio 7.9.2.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{u^{\frac{5}{3}}} + C$

Passaggio 7.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 8.1.1

Sottrai $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = C$

Passaggio 8.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

Passaggio 8.1.3

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

Passaggio 8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 8.2.1

Somma $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - C = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 8.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

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Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} {(3 x - 1)}^{2} + C {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di ${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

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Passaggio 8.4.2.1.2.1

Scomponi ${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ da ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + C {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.3

Riordina $2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ e $C {(3 x - 1)}^{2}$ .

$y = C {(3 x - 1)}^{2} + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.5.1

Riscrivi ${(3 x - 1)}^{2}$ come $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$y = C ((3 x - 1) (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.2

Espandi $(3 x - 1) (3 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 8.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = C (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 8.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = C (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.5.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = C (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = C (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = C (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$y = C (9 x^{2} - 6 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$y = C (9 x^{2}) + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.5

Semplifica.

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Passaggio 8.5.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = 9 C x^{2} + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.5.5.3

Moltiplica $C$ per $1$ .

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$