Calcolo Esempi

$x d x + (y - 2) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(y - 2) d y = - x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y - 2 d y = \int - x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int - x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int - x d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int - x d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ come $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3.2

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{x^{2}}{2} + K$

Passaggio 3.3

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Somma $\frac{x^{2}}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} = K$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Passaggio 3.4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} - 4 y + x^{2} + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} - 4 y + x^{2} - 2 K = 0$

Passaggio 3.4.3

Sposta $- 4 y$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Passaggio 3.4.4

Riordina $y^{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Passaggio 3.5

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.6

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = x^{2} - 2 K$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ .

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Passaggio 3.7.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $x^{2} - 2 K$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Riscrivi $- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)$ come $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))$ .

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Passaggio 3.7.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$