Calcolo Esempi

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x - x y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - x y + 2]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - x y + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma $1 - y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- y + 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 = - y + 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$1 = - y + 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- y + 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $y$ a $M$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{- y + 0}{y}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $- y$ e $0$ .

$\frac{- y}{y}$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci $y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- y}{y}$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - 1 d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $y d x + (x - x y + 2) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y$ per $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x - x y + 2$ per $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) e^{- y} d y = 0$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$y e^{- y} d x + (x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- y} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = y e^{- y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y e^{- y} x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x + g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y e^{- y} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y e^{- y} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = e^{- y}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- y$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$x (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- y}$ .

$x (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.9

Riscrivi $- 1 e^{- y}$ come $- e^{- y}$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.3.10

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (y (- e^{- y})) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 11.5.3

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Somma $x y e^{- y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y}$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $x e^{- y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Somma $- x y e^{- y}$ e $x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} + 0 - x e^{- y}$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $x e^{- y} + 2 e^{- y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} - x e^{- y}$

Passaggio 12.1.3.3

Sottrai $x e^{- y}$ da $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y} + 0$

Passaggio 12.1.3.4

Somma $2 e^{- y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $2 e^{- y}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 e^{- y} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 e^{- y} d y$

Passaggio 13.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 2 \int e^{- y} d y$

Passaggio 13.4

Sia $u = - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Sia $u = - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 13.4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 13.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 13.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 13.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = 2 \int - e^{u} d u$

Passaggio 13.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 2 (- \int e^{u} d u)$

Passaggio 13.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$g (y) = - 2 \int e^{u} d u$

Passaggio 13.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (e^{u} + C)$

Passaggio 13.8

Semplifica.

$g (y) = - 2 e^{u} + C$

Passaggio 13.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$g (y) = - 2 e^{- y} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$

Passaggio 15

Riordina i fattori in $f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- y} - 2 e^{- y} + C$