Calcolo Esempi

$z + u (\frac{d z}{d u}) = \frac{z}{1 - z}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d z}{d u}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $z$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $u$ ciascun termine in $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $u$ ciascun termine in $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ .

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d z}{d u}$ per $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Per scrivere $- z$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z \cdot \frac{1 - z}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.3.1

$- z$ e $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} + \frac{- z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.4.1

Scomponi $z$ da $z - z (1 - z)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.4.1.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.4.1.2

Scomponi $z$ da $z^{1}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.4.1.3

Scomponi $z$ da $- z (1 - z)$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 + z (- (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.4.1.4

Scomponi $z$ da $z \cdot 1 + z (- (1 - z))$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 \cdot 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.4.4

Moltiplica $- - z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + 1 z)}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.4.4.2

Moltiplica $z$ per $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + z)}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.4.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (0 + z)}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.4.6

Somma $0$ e $z$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot z}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.5.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.5.2

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z^{1}}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1 + 1}}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{2}}{1 - z}}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Passaggio 1.1.2.3.7

Moltiplica $\frac{z^{2}}{1 - z}$ per $\frac{1}{u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Passaggio 1.1.2.3.8

Riordina i fattori in $\frac{z^{2}}{(1 - z) u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{u (1 - z)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1 - z}{z^{2}}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} (\frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{z^{2}}{1 - z}$ per $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $1 - z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $1 - z$ da $(1 - z) u$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) (u)}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $z^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Passaggio 1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{u}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 - z}{z^{2}} d z = \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 - z}{z^{2}} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $z^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (1 - z) {(z^{2})}^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(z^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - z) z^{2 \cdot - 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (1 - z) z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $(1 - z) z^{- 2}$ .

$\int 1 z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $z^{- 2}$ per $1$ .

$\int z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $z$ per $z^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Sposta $z^{- 2}$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.3.2.2

Moltiplica $z^{- 2}$ per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z^{1}) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int z^{- 2} - z^{- 2 + 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.3.2.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$\int z^{- 2} - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int z^{- 2} d z + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $z^{- 2}$ rispetto a $z$ è $- z^{- 1}$ .

$- z^{- 1} + C_{1} + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- z^{- 1} + C_{1} - \int z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.7

L'integrale di $z^{- 1}$ rispetto a $z$ è $\ln (| z |)$ .

$- z^{- 1} + C_{1} - (\ln (| z |) + C_{2}) = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) = \ln (| u |) + C$