Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 - x^{2}}{2 y^{3}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{2 y^{3}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{3}$ da $2 y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{y^{3} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{y^{3} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6 - x^{2}}{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{3} d y = \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{3} d y = \int \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 6 - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 6 d x + \int - x^{2} d x)$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} + \int - x^{2} d x)$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} - \int x^{2} d x)$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}))$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.3.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (2 (3 x)) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (2 (3 x)) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{4} = 4 (3 x + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = 4 (3 x - \frac{x^{3}}{2 \cdot 3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y^{4} = 4 (3 x - \frac{x^{3}}{6} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{4} = 4 (3 x) + 4 (- \frac{x^{3}}{6}) + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$y^{4} = 12 x + 4 (- \frac{x^{3}}{6}) + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{3}}{6}$ nel numeratore.

$y^{4} = 12 x + 4 \frac{- x^{3}}{6} + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$y^{4} = 12 x + 2 (2) \frac{- x^{3}}{6} + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.3

Scomponi $2$ da $6$ .

$y^{4} = 12 x + 2 \cdot 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.4

Elimina il fattore comune.

$y^{4} = 12 x + 2 \cdot 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.5

Riscrivi l'espressione.

$y^{4} = 12 x + 2 \frac{- x^{3}}{3} + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

$2$ e $\frac{- x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = 12 x + \frac{2 (- x^{3})}{3} + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{4} = 12 x + \frac{- 2 x^{3}}{3} + 4 K$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{4} = 12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt[4]{12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt[4]{12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $12 x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $- \frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3}) + 4 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $4 K$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)}$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi $2$ da $2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)}$

Passaggio 3.4.1.5

Scomponi $2$ da $2 (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $6 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$6 x$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{6 x \cdot 3}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{6 x \cdot 3 - x^{3}}{3} + 2 K)}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Scomponi $x$ da $6 x \cdot 3 - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1

Scomponi $x$ da $6 x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3) - x^{3}}{3} + 2 K)}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3) + x (- x^{2})}{3} + 2 K)}$

Passaggio 3.4.4.1.3

Scomponi $x$ da $x (6 \cdot 3) + x (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3 - x^{2})}{3} + 2 K)}$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + 2 K)}$

Passaggio 3.4.5

Per scrivere $2 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3})}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

$2 K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3})}$

Passaggio 3.4.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{x (18 - x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{x \cdot 18 + x (- x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.7.2

Sposta $18$ alla sinistra di $x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 \cdot x + x (- x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 \cdot x - x \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.7.4

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - (x^{2} x) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.7.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - (x^{2} x^{1}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.7.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{2 + 1} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.7.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{3} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.7.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{3} + 6 K}{3}}$

Passaggio 3.4.8

$2$ e $\frac{18 x - x^{3} + 6 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}{3}}$

Passaggio 3.4.9

Riscrivi $\sqrt[4]{\frac{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}{3}}$ come $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$

Passaggio 3.4.10

Moltiplica $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 3.4.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 3.4.11.2

Eleva $\sqrt[4]{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 3.4.11.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Passaggio 3.4.11.4

Somma $1$ e $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Passaggio 3.4.11.5

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{3}$ come $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Passaggio 3.4.11.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Passaggio 3.4.11.5.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 3.4.11.5.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 3.4.11.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.4.11.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Passaggio 3.4.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ come $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Passaggio 3.4.12.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} \sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 3.4.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.13.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K) \cdot 27}}{3}$

Passaggio 3.4.13.2

Moltiplica $27$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + K)}}{3}$