Calcolo Esempi

$(3 x + 2) d y + (y + 2) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(y + 2) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(3 x + 2) d y = - (y + 2) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $3 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y + 2$ da $(3 x + 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{3 x + 2} d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = y + 2$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = y + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = 3 x + 2$ . Allora $d u_{2} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = 3 x + 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.3.2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\ln (| 3 x + 2 |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Passaggio 5.3

Per scrivere $\ln (| y + 2 |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Passaggio 5.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

$\ln (| y + 2 |)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Passaggio 5.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3 + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Passaggio 5.5

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (| y + 2 |)$ .

$\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Passaggio 5.6

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1

Semplifica $3 \ln (| y + 2 |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3}) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Passaggio 5.6.1.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3} = C$

Passaggio 5.6.1.2

Riscrivi $\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ .

$\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |) = C$

Passaggio 5.6.1.3

Semplifica $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}^{\frac{1}{3}}) = C$

Passaggio 5.6.1.4

Applica la regola del prodotto a ${| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |$ .

$\ln ({({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln ({| y + 2 |}^{1} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Passaggio 5.6.1.6

Semplifica.

$\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Passaggio 5.6.1.7

Riordina i fattori in $\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$

Passaggio 5.7

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |)} = e^{C}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |$

Passaggio 5.9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Riscrivi l'equazione come ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ .

${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$

Passaggio 5.9.2

Dividi per ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Dividi per ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ .

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.9.2.2.2

Dividi $| y + 2 |$ per $1$ .

$| y + 2 | = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.9.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.9.4

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{C}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C \frac{1}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$