Calcolo Esempi

$x d y = (y + 2 x^{3}) d x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $(y + 2 x^{3}) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x d y - (y + 2 x^{3}) d x = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi.

$- (y + 2 x^{3}) d x + x d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - (y + 2 x^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y + 2 x^{3})]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (y + 2 x^{3})$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y + 2 x^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y + 2 x^{3}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2 x^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{3}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + \frac{d}{d y} [2 x^{3}])$

Passaggio 2.5

Poiché $2 x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + 0)$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 1 = 1$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 1 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - 1}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x$ a $N$ .

$\frac{- 1 - 1}{x}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 6.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| x |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Passaggio 6.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Passaggio 6.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $- (y + 2 x^{3}) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- (y + 2 x^{3})$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- (y + 2 x^{3}) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- y - (2 x^{3})) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(- y - 2 x^{3}) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- y - 2 x^{3}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- y - 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.5

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{- (y) - 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{3}$ .

$\frac{- (y) - (2 x^{3})}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.7

Scomponi $- 1$ da $- (y) - (2 x^{3})$ .

$\frac{- (y + 2 x^{3})}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.8

Riscrivi $- (y + 2 x^{3})$ come $- 1 (y + 2 x^{3})$ .

$\frac{- 1 (y + 2 x^{3})}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.10

Moltiplica $x$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.11

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$- \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 7.11.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 7.11.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} d x + \frac{1}{x} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = \frac{1}{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y + C$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x} + g (x)] = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y}{x} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y}{x}$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 12.5.2

$y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 12.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Somma $\frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} + \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + y + 2 x^{3}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Somma $- y$ e $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 + 2 x^{3}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4

Somma $0$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.5.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x}{1} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.2.4

Dividi $2 x$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x = 0$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- 2 x$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Passaggio 14.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Passaggio 14.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 14.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Riscrivi $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 14.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 14.5.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 14.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Passaggio 14.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Passaggio 14.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Passaggio 14.5.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} - x^{2} + C$