Calcolo Esempi

$(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 1 + x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + x y]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Passaggio 1.4

Somma $0$ e $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (1 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (1 + x^{2})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x = - 2 x$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x = - 2 x$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (- 2 x)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- (1 + x^{2})$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- (1 + x^{2})$ a $N$ .

$\frac{x - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $x$ da $x - (- 2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $x$ da $- (- 2 x)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- (- 2))$ .

$\frac{x (1 - (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{x (1 + 2)}{- (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x \cdot 3}{- (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{- (1 + x^{2})}$

Passaggio 4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 x}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x}$

Passaggio 5.4

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 5.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.4.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.4.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 5.4.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Passaggio 5.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Passaggio 5.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 5.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 5.9

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Passaggio 5.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)} + C$

Passaggio 5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Moltiplica $- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1.1

Riordina $\ln (| 1 + x^{2} |)$ e $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |))} + C$

Passaggio 5.11.1.2

Semplifica $\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ spostando $\frac{3}{2}$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Passaggio 5.11.2

Semplifica $- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.11.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Passaggio 5.11.4

Moltiplica gli esponenti in ${({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Passaggio 5.11.4.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Passaggio 5.11.4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Passaggio 5.11.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.11.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Passaggio 6.1

Moltiplica $1 + x y$ per $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(1 + x y) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $1 + x y$ per $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- (1 + x^{2})$ per $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $- 1 - x^{2}$ per $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 6.8

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 6.9

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (x^{2})$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 6.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} y + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$y$ e $\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 8.2.2

Sposta ${(1 + x^{2})}^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{- 1}} + C$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ per ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.2.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Passaggio 8.2.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Passaggio 8.2.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Passaggio 8.2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Passaggio 8.2.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Passaggio 8.2.3.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- y (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Passaggio 11.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + x^{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.12.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.14

Somma $0$ e $2 x$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.15

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.16

$2$ e $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.17

$\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.18

Sposta ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.19

Elimina il fattore comune.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.20

Riscrivi l'espressione.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.21

$\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$- y (- \frac{x {(1 + x^{2})}^{- 1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.22

Sposta ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.23

Moltiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1 + x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.23.1

Moltiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.23.1.1

Eleva $1 + x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.23.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.23.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.23.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.23.4

Somma $1$ e $2$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.24

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.25

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.3.26

$y$ e $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Sottrai $\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - (1 + x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 \cdot 1 - (x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Combina i termini opposti in $y x - 1 - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.1

Riordina i fattori nei termini di $y x$ e $- x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x y - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Sottrai $x y$ da $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 13.3

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}} d x$

Passaggio 13.4

Sia $x = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 13.5

Semplifica $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Applica l'identità pitagorica.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 13.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 13.5.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 13.5.3

Riscrivi $\sec^{6} (t)$ come ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 13.5.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 13.6

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.1

Scomponi $\sec^{2} (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 13.6.2

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 13.6.3

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Passaggio 13.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.1

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$g (x) = \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 13.7.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$g (x) = \int 1 \cos (t) d t$

Passaggio 13.7.3

Moltiplica $\cos (t)$ per $1$ .

$g (x) = \int \cos (t) d t$

Passaggio 13.8

L'integrale di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $\sin (t)$ .

$g (x) = \sin (t) + C$

Passaggio 13.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (x)$ .

$g (x) = \sin (\arctan (x)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, x)$ . Perciò, $\sin (\arctan (x))$ è $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Passaggio 15.1.2

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Passaggio 15.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.3.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Passaggio 15.1.3.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Passaggio 15.1.3.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + C$

Passaggio 15.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Passaggio 15.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + C$

Passaggio 15.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ come $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Passaggio 15.1.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Passaggio 15.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Passaggio 15.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Passaggio 15.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + C$

Passaggio 15.1.3.6.5

Semplifica.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

Passaggio 15.2

Per scrivere $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

Passaggio 15.3

Per scrivere $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Moltiplica $\frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1 + x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Moltiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Eleva $1 + x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.3

Moltiplica $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ per $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.4

Moltiplica $1 + x^{2}$ per ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.4.1

Moltiplica $1 + x^{2}$ per ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.4.1.1

Eleva $1 + x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Passaggio 15.4.4.4

Somma $2$ e $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{- y \cdot 1 - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.4

Moltiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.4.1

Sposta ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.4.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.5

Semplifica $x {(1 + x^{2})}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.8

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.8.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.8.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1 + 2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.8.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.9

Riscrivi $- y - y x^{2} + x + x^{3}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.9.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.9.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f (x, y) = \frac{(- y - y x^{2}) + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.9.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f (x, y) = \frac{y \cdot (- 1 - x^{2}) - x (- 1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 15.6.9.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 1 - x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(- 1 - x^{2}) (y - x)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$