Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = 5 e^{\cos (x)}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = 5 e^{\cos (x)}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = 5 e^{\cos (x)}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \cot (x)$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\sin (x)$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Passaggio 3.2

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 3.2.1

Riordina $\sin (x)$ e $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\sin (x) (\cot (x) y)$ in termini di seno e coseno.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Passaggio 3.2.3

Elimina i fattori comuni.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 5 \sin (x) e^{\cos (x)}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 5 \sin (x) e^{\cos (x)}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 5 e^{\cos (x)} \sin (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 e^{\cos (x)} \sin (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\sin (x) y = \int 5 e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\sin (x) y = 5 \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 7.2

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.2.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 7.2.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\sin (x) y = 5 \int - e^{u} d u$

Passaggio 7.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\sin (x) y = 5 (- \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\sin (x) y = - 5 \int e^{u} d u$

Passaggio 7.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\sin (x) y = - 5 (e^{u} + C)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$\sin (x) y = - 5 e^{u} + C$

Passaggio 7.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$

Passaggio 8

Dividi per $\sin (x)$ ciascun termine in $\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $\sin (x)$ ciascun termine in $\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.1.2

Frazioni separate.

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.1.3

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Passaggio 8.3.1.4

Dividi $C$ per $1$ .

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + C \csc (x)$