Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6 y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6 y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $6 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{y^{2} \cdot 6}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{y^{2} \cdot 6}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} \int x (e^{x^{2}} + 2) d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} \int (e^{u} + 2) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} (\frac{1}{2} \int e^{u} + 2 d u)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 6} \int e^{u} + 2 d u$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} \int e^{u} + 2 d u$

Passaggio 2.3.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (\int e^{u} d u + \int 2 d u)$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + C_{2} + \int 2 d u)$

Passaggio 2.3.7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + C_{2} + 2 u + C_{3})$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + 2 u) + C_{4}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{x^{2}} + 2 x^{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{12} (2 x^{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10.2

$\frac{1}{12}$ e $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{12} (2 x^{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.3.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 x^{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10.3.2

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 (x^{2})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} (2 x^{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{6} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.10.4

$\frac{1}{6}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{x^{2}}{6} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{12}$ e $e^{x^{2}}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

$\frac{1}{6}$ e $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{x^{2}}{6} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{12} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{3 (4)} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{3 \cdot 4} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $\frac{x^{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Passaggio 3.4.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 3 K}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + x^{2} \cdot 2}{4} + 3 K}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + 3 K}$

Passaggio 3.4.5

Per scrivere $3 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + 3 K \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 3.4.6

$3 K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + \frac{3 K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 3 K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}{4}}$

Passaggio 3.4.9

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}{4}}$ come $\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 3.4.10

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.11.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.11.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.11.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Passaggio 3.4.11.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ come $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.11.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.11.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.11.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.11.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Passaggio 3.4.11.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Passaggio 3.4.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ come $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Passaggio 3.4.12.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

Passaggio 3.4.12.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Passaggio 3.4.12.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.12.4

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 3.4.12.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.13

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.13.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.13.1.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.13.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.13.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.13.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.13.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2}$

Passaggio 3.4.13.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K)}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (e^{x^{2}} + 2 x^{2} + K)}}{2}$