Calcolo Esempi

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Combina.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $\frac{1}{\ln (y) y}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Passaggio 3.5

$- 3$ e $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} \ln (y)$ .

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Sia $u = \ln (y)$ . Allora $d u = \frac{1}{y} d y$ , quindi $y d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Sia $u = \ln (y)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 4.2.1.1.2

La derivata di $\ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Passaggio 4.3

Applica la regola costante.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi l'equazione come $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ .

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

Passaggio 5.3.2.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Passaggio 5.3.2.3

Riscrivi $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

Passaggio 5.3.2.4

Riscrivi l'equazione come $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $e^{- 3 x + C}$ come $e^{- 3 x} e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

Passaggio 6.2

Riordina $e^{- 3 x}$ e $e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

Passaggio 6.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = e^{C e^{- 3 x}}$