Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = c x + d$ . Allora $d u = c d x$ , quindi $\frac{1}{c} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = c x + d$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $c x + d$ .

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $c x + d$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [c x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c x$ rispetto a $x$ è $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Moltiplica $c$ per $1$ .

$c + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $d$ rispetto a $x$ è $0$ .

$c + 0$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Somma $c$ e $0$ .

$c$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ per $\frac{1}{c}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{c}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{c}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

Passaggio 2.3.4

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

Passaggio 2.3.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.6

Poiché $a$ è costante rispetto a $u$ , sposta $a$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Moltiplica $\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ per $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.7.2

Combina.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.7.4

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.7.5

$c$ e $\frac{d}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.7.6

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.6.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.7.6.2

Dividi $d$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.8

Poiché $\frac{1}{c}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{c}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.9

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.11

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.11.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.12

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.15

Poiché $d$ è costante rispetto a $u$ , sposta $d$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.16

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.17

$\frac{1}{c}$ e $a$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

Passaggio 2.3.18

Poiché $b$ è costante rispetto a $u$ , sposta $b$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.19

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

Passaggio 2.3.20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.20.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

Passaggio 2.3.20.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.20.2.1

Per scrivere $b \ln (| u |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

Passaggio 2.3.20.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

Passaggio 2.3.20.2.3

Moltiplica $\frac{1}{c}$ per $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

Passaggio 2.3.20.2.4

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

Passaggio 2.3.20.2.5

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

Passaggio 2.3.20.2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

Passaggio 2.3.20.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Passaggio 2.3.21

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $c x + d$ .

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$