Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}))$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)})$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.2

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.3.3

Frazioni separate.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 1.3.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Passaggio 1.3.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{y}} d y = \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int e^{u} d u = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- e^{u} + C_{1} = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.3

Poiché la derivata di $\sec (x)$ è $\sec (x) \tan (x)$ , l'integrale di $\sec (x) \tan (x)$ è $\sec (x)$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \sec (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- e^{- y} = \sec (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{- y} = \sec (x) + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{- y} = \sec (x) + K$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\sec (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\sec (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $e^{- y}$ per $1$ .

$e^{- y} = \frac{\sec (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sec (x)}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot \sec (x) + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \sec (x)$ come $- \sec (x)$ .

$e^{- y} = - \sec (x) + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \sec (x) - 1 \cdot K$

Passaggio 3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot K$ come $- K$ .

$e^{- y} = - \sec (x) - K$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \sec (x) - K)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $\ln (e^{- y})$ spostando $- y$ fuori dal logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- \sec (x) - K)$

Passaggio 3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \sec (x) - K)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- y = \ln (- \sec (x) - K)$

Passaggio 3.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (- \sec (x) - K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (- \sec (x) - K)$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \sec (x) - K)}{- 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \sec (x) - K)}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (- \sec (x) - K)}{- 1}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (- \sec (x) - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \sec (x) - K)$

Passaggio 3.4.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (- \sec (x) - K)$ come $- \ln (- \sec (x) - K)$ .

$y = - \ln (- \sec (x) - K)$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \ln (- \sec (x) + K)$