Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ per $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ per $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.5

$y^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.7

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.8.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Passaggio 1.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Passaggio 1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 y \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.9

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + y \frac{2}{x}}$

Passaggio 1.10

$y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Passaggio 1.11

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

Passaggio 1.12

Usa la regola della potenza di un quoziente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

Passaggio 1.13

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{2 y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Passaggio 1.13.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 \cdot V}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V} - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Dividi la frazione $\frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$ in due frazioni.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} - V$

Passaggio 6.1.1.1.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.3.1

Scrivi $- V$ come una frazione con denominatore $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1}$

Passaggio 6.1.1.1.3.2

Moltiplica $\frac{- V}{1}$ per $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$

Passaggio 6.1.1.1.3.3

Moltiplica $\frac{- V}{1}$ per $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V (3 + 2 V)}{3 + 2 V}$

Passaggio 6.1.1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V (3 + 2 V)}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V \cdot 3 - V (2 V)}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - V (2 V)}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.5.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V \cdot V}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.5.4.1

Moltiplica $V$ per $V$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.5.4.1.1

Sposta $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 (V \cdot V)}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.5.4.1.2

Moltiplica $V$ per $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V^{2}}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 2 V^{2}}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.6

Sottrai $2 V^{2}$ da $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V^{2} - 3 V}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.7

Riordina i termini.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.8

Dividi la frazione $\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$ in due frazioni.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.9

Scomponi $V$ da $- V^{2} - 3 V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.9.1

Scomponi $V$ da $- V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.9.2

Scomponi $V$ da $- 3 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) + V \cdot - 3}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.1.9.3

Scomponi $V$ da $V (- V) + V \cdot - 3$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V) + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.2.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.2.4

Moltiplica $V$ per $V$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.2.4.1

Sposta $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V) - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.2.4.2

Moltiplica $V$ per $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - (3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (V^{2}) - (3 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.3.4

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.3.6.1

Riscrivi $- (V^{2} + 3 V - 2)$ come $- 1 (V^{2} + 3 V - 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.3.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x (2 V + 3)}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2

Moltiplica $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $2 V + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ nel numeratore.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- (2 V + 3)}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Scomponi $2 V + 3$ da $- (2 V + 3)$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Passaggio 6.1.4.3.3

Scomponi $2 V + 3$ da $(2 V + 3) x$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) (x)}$

Passaggio 6.1.4.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Passaggio 6.1.4.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

Passaggio 6.1.4.4

Elimina il fattore comune di $V^{2} + 3 V - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

Passaggio 6.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sia $u = V^{2} + 3 V - 2$ . Allora $d u = (2 V + 3) d V$ , quindi $\frac{1}{2 V + 3} d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Sia $u = V^{2} + 3 V - 2$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Differenzia $V^{2} + 3 V - 2$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 3 V - 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $V^{2} + 3 V - 2$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d V} [3 V]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $3 V$ rispetto a $V$ è $3 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 V + 3 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 V + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 V + 3 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $V$ è $0$ .

$2 V + 3 + 0$

Passaggio 6.2.2.1.1.4.2

Somma $2 V + 3$ e $0$ .

$2 V + 3$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $V^{2} + 3 V - 2$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica.

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 8

Risolvi $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$ per $y$ .

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Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 |) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 8.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

Passaggio 8.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

Passaggio 8.3.2

$3$ e $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2 | | x |) = C$

Passaggio 8.4

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2) x |) = C$

Passaggio 8.5

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Passaggio 8.6

Semplifica.

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Passaggio 8.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 8.6.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Passaggio 8.6.1.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Passaggio 8.6.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Passaggio 8.6.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 8.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Passaggio 8.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + 3 y - 2 x |) = C$