Calcolo Esempi

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

Passaggio 3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = a$ e $b = x$ .

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

Passaggio 3.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Passaggio 3.5.2

Eleva $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ alla potenza di $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Passaggio 3.5.3

Eleva $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ alla potenza di $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

Passaggio 3.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

Passaggio 3.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

Passaggio 3.5.6

Riscrivi ${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ come $(a + x) (a - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ come ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

Passaggio 3.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

Passaggio 3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Passaggio 3.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Passaggio 3.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

Passaggio 3.5.6.5

Semplifica.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

Passaggio 3.6

$x$ e $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ .

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Passaggio 4.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u = (a + x) (a - x)$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u = (a + x) (a - x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $(a + x) (a - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = a + x$ e $g (x) = a - x$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Passaggio 4.3.2.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Passaggio 4.3.2.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Passaggio 4.3.2.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Passaggio 4.3.2.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Passaggio 4.3.2.1.3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $a + x$ .

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Passaggio 4.3.2.1.3.6.3

Riscrivi $- 1 (a + x)$ come $- (a + x)$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Passaggio 4.3.2.1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $a + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.2.1.3.8

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.2.1.3.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.2.1.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

Passaggio 4.3.2.1.3.11

Moltiplica $a - x$ per $1$ .

$- (a + x) + a - x$

Passaggio 4.3.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- a - x + a - x$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.2.1

Somma $- a$ e $a$ .

$- x + 0 - x$

Passaggio 4.3.2.1.4.2.2

Somma $- x$ e $0$ .

$- x - x$

Passaggio 4.3.2.1.4.2.3

Sottrai $x$ da $- x$ .

$- 2 x$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{u}}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.3.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ per $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Passaggio 4.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2

Moltiplica $u$ per $u^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.2.1

Moltiplica $u$ per $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.2.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.3.7.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.3.1

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3.7.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.7.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.7.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.9.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.9.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.9.2.3

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(a + x) (a - x)$ .

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$