Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = a (b - y)$

Passaggio 1

Sia $v = b - y$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $b - y$ con $v$ .

$\frac{d y}{d x} = a v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $b - y$ .

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $b - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $b$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - y'$

Passaggio 2.4

Sottrai $y'$ da $0$ .

$\frac{d v}{d x} = - y'$

Passaggio 3

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$- \frac{d v}{d x} = a v$

Passaggio 4

Separa le variabili.

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Passaggio 4.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (a v)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $v$ da $a v$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = a$

Passaggio 4.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 \frac{d v}{d x} = a$

Passaggio 4.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 d v = a d x$

Passaggio 5

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 5.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v} \cdot - 1 d v = \int a d x$

Passaggio 5.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

$\frac{1}{v}$ e $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{v} d v = \int a d x$

Passaggio 5.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Passaggio 5.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Passaggio 5.2.3

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) = \int a d x$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

$- \ln (| v |) + C_{1} = \int a d x$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$- \ln (| v |) + C_{1} = a x + C_{2}$

Passaggio 5.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| v |) = a x + C$

Passaggio 6

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| v |) = a x + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| v |) = a x + C$ .

$\frac{- \ln (| v |)}{- 1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| v |)}{1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.1.2.2

Dividi $\ln (| v |)$ per $1$ .

$\ln (| v |) = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{a x}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - 1 \cdot (a x) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (a x)$ come $- (a x)$ .

$\ln (| v |) = - (a x) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - a x - 1 \cdot C$

Passaggio 6.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| v |) = - a x - C$

Passaggio 6.2

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- a x - C}$

Passaggio 6.3

Riscrivi $\ln (| v |) = - a x - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- a x - C} = | v |$

Passaggio 6.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Riscrivi l'equazione come $| v | = e^{- a x - C}$ .

$| v | = e^{- a x - C}$

Passaggio 6.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- a x - C}$

Passaggio 7

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 7.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = \pm e^{- a x + C}$

Passaggio 7.2

Riscrivi $e^{- a x + C}$ come $e^{- a x} e^{C}$ .

$v = \pm e^{- a x} e^{C}$

Passaggio 7.3

Riordina $e^{- a x}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{- a x}$

Passaggio 7.4

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C e^{- a x}$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $b - y$ .

$b - y = C e^{- a x}$

Passaggio 9

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 9.1

Sottrai $b$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = C e^{- a x} - b$

Passaggio 9.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = C e^{- a x} - b$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = C e^{- a x} - b$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Passaggio 9.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C e^{- a x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Passaggio 9.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (C e^{- a x})$ come $- (C e^{- a x})$ .

$y = - (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Passaggio 9.2.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - C e^{- a x} + \frac{b}{1}$

Passaggio 9.2.3.1.4

Dividi $b$ per $1$ .

$y = - C e^{- a x} + b$

Passaggio 10

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = C e^{- a x} + b$