Calcolo Esempi

$2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Passaggio 1.3

Riordina i termini.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} y = \frac{1}{2} e^{- x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{3}{2} d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{\frac{3}{2} x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\frac{3}{2} x}$

Passaggio 2.4

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{3}{2} y) = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Passaggio 3.2.2

$\frac{3}{2}$ e $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Passaggio 3.2.3

$\frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2}$ e $y$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3 x}{2}} e^{- x}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $e^{\frac{3 x}{2}}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $e^{- x}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} (e^{- x} e^{\frac{3 x}{2}})$

Passaggio 3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x + \frac{3 x}{2}}$

Passaggio 3.4.3

Per scrivere $- x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Passaggio 3.4.4

$- x$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Passaggio 3.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2 + 3 x}{2}}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Scomponi $x$ da $- x \cdot 2 + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1.1

Scomponi $x$ da $- x \cdot 2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + 3 x}{2}}$

Passaggio 3.4.6.1.2

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3}{2}}$

Passaggio 3.4.6.1.3

Scomponi $x$ da $x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2 + 3)}{2}}$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 2 + 3)}{2}}$

Passaggio 3.4.6.3

Somma $- 2$ e $3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x \cdot 1}{2}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 3.5

$\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 3.6

Riordina i fattori in $e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y e^{\frac{3 x}{2}}}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] d x = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Passaggio 7.2

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Allora $d u = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 7.2.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

Passaggio 7.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int 2 e^{u} d u$

Passaggio 7.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} (2 \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 7.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 7.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = 1 \int e^{u} d u$

Passaggio 7.5.3

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int e^{u} d u$

Passaggio 7.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{u} + C$

Passaggio 7.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} + C$

Passaggio 7.8

Riordina i termini.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{\frac{3 x}{2}}$ ciascun termine in $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{\frac{3 x}{2}}$ ciascun termine in $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ .

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{1}{2} x}$ e $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $e^{\frac{3 x}{2}}$ da $e^{\frac{1}{2} x}$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}$ per $1$ .

$y = e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1.1

Scomponi $x$ da $\frac{1}{2} x \cdot 2$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.2.1.2

Scomponi $x$ da $- 3 x$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.2.1.3

Scomponi $x$ da $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = e^{\frac{x (1 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.2.3

Sottrai $3$ da $1$ .

$y = e^{\frac{x \cdot - 2}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $x \cdot - 2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 (1)}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 \cdot 1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = e^{\frac{x \cdot - 1}{1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.3.2.4

Dividi $x \cdot - 1$ per $1$ .

$y = e^{x \cdot - 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$y = e^{- 1 \cdot x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $5$ in $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ .

$5 = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Scomponi $2$ da $3 \cdot 0$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2}}} = 5$

Passaggio 10.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}}} = 5$

Passaggio 10.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}}} = 5$

Passaggio 10.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{1}}} = 5$

Passaggio 10.2.2.2.4

Dividi $3 \cdot 0$ per $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Passaggio 10.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 5$

Passaggio 10.2.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 5$

Passaggio 10.2.4

Dividi $C$ per $1$ .

$1 + C = 5$

Passaggio 10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 5 - 1$

Passaggio 10.3.2

Sottrai $1$ da $5$ .

$C = 4$

Passaggio 11

Sostituisci $4$ a $C$ in $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci $4$ a $C$ .

$y = e^{- x} + \frac{4}{e^{\frac{3 x}{2}}}$