Calcolo Esempi

$x d x + y e^{- x} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{- x} d y = - x d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (y e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $y e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y d y = - \frac{1}{e^{- x}} x d x$

Passaggio 3.3

$x$ e $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{- x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{1 x} d x$

Passaggio 4.3.2.2.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x}) - - e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $- - e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + 1 e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} = - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$

Passaggio 5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K}$

Passaggio 5.4

Scomponi $2$ da $- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 x e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $2$ da $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $2$ da $2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x})$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $2$ da $2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Passaggio 5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$