Calcolo Esempi

$(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} y = - x^{2}$

Passaggio 1.1.2.2

Somma $x^{2} y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $y^{2} \frac{d y}{d x}$ da $y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $y^{2} \frac{d y}{d x}$ da $y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $y^{2} \frac{d y}{d x}$ da $x y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x = - x^{2} + x^{2} y$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $y^{2} \frac{d y}{d x}$ da $y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$

Passaggio 1.1.4

Dividi per $y^{2} (1 + x)$ ciascun termine in $y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Dividi per $y^{2} (1 + x)$ ciascun termine in $y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ .

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.2.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2} (1 + x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 1.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + x) y^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y (1 + x) y}$

Passaggio 1.2.2.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y (1 + x)}$

Passaggio 1.2.2.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y^{1} (1 + x)}$

Passaggio 1.2.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1 + 1} (1 + x)}$

Passaggio 1.2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2} + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2} + x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.2.4.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.2.4.4

Moltiplica $x^{2}$ per $- 1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{y^{2}}{- 1 + y}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} (\frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{1 + x}$ per $\frac{- 1 + y}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{(1 + x) y^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $(1 + x) y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{1 + x}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $- 1 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $- 1 + y$ da $x^{2} (- 1 + y)$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

Passaggio 1.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riordina $- 1$ e $y$ .

$\int \frac{y^{2}}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$y$
	$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	-	$y$

Passaggio 2.2.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y^{2} - y$

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$

Passaggio 2.2.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$

Passaggio 2.2.2.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

Passaggio 2.2.2.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

Passaggio 2.2.2.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					+	$y$	-	$1$

Passaggio 2.2.2.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y - 1$

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$

Passaggio 2.2.2.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$
							+	$1$

Passaggio 2.2.2.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int y + 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.6

Sia $u_{1} = y - 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Sia $u_{1} = y - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 2.2.6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.6.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.7

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y - 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riordina $1$ e $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi $x^{2}$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.3.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 2.3.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Passaggio 2.3.2.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Passaggio 2.3.2.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Passaggio 2.3.2.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Passaggio 2.3.2.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Passaggio 2.3.2.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Passaggio 2.3.2.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.6

Sia $u_{2} = x + 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.7

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \ln (| u_{2} |) + C_{7}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C_{8}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$