Calcolo Esempi

$(x + 2 y) d x + x d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

Passaggio 1.4

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 = 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ a $N$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | x | + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x + 2 y) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x + 2 y$ per $x$ .

$(x + 2 y) x d x + x d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + 2 y x) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x \cdot x d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x^{2} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} + 2 y x$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Passaggio 11.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = x^{2} + 2 y x$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x - 2 x y$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + 2 y x - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Riordina i fattori nei termini di $2 y x$ e $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 x y - 2 x y$

Passaggio 12.1.2.2

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

Passaggio 12.1.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $x^{2}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

Passaggio 13.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 15

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{x^{3}}{3} + C$