Calcolo Esempi

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y = (2 x y - e^{y} - x) d x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $(2 x y - e^{y} - x) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y - (2 x y - e^{y} - x) d x = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi.

$- (2 x y - e^{y} - x) d x + (x e^{y} + y - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - (2 x y - e^{y} - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y - e^{y} - x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (2 x y - e^{y} - x)$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y - e^{y} - x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- e^{y}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è $a^{y} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + \frac{d}{d y} [- x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + 0)$

Passaggio 2.4.2

Somma $2 x - e^{y}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x) - - e^{y}$

Passaggio 2.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - - e^{y}$

Passaggio 2.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 1 e^{y}$

Passaggio 2.5.2.3

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + e^{y}$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y} + y - x^{2}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{y} + y - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x e^{y}$ rispetto a $x$ è $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - (2 x)$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - 2 x$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Somma $e^{y}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} - 2 x$

Passaggio 3.6.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + e^{y}$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2 x + e^{y}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x + e^{y}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$

Passaggio 4.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$ è un'identità.

Passaggio 5

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} + y - x^{2} d y$

Passaggio 6

Integra $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Passaggio 6.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Passaggio 6.3

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Passaggio 6.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{2} d y$

Passaggio 6.5

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{2} y + C$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Passaggio 7

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Passaggio 8

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Poiché $e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x e^{y}$ rispetto a $x$ è $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.4

Poiché $\frac{1}{2} y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2} y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{y} + 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{y} + 0 - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.6

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Somma $e^{y}$ e $0$ .

$e^{y} - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 9.7.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 10

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Semplifica $- (2 x y - e^{y} - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = 0 + 0 - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 10.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Passaggio 10.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y) - - e^{y} - - x$

Passaggio 10.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) - - e^{y} - - x$

Passaggio 10.1.1.4.2

Moltiplica $- - e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + 1 e^{y} - - x$

Passaggio 10.1.1.4.2.2

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} - - x$

Passaggio 10.1.1.4.3

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + 1 x$

Passaggio 10.1.1.4.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + x$

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x$

Passaggio 10.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Somma $2 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y$

Passaggio 10.1.2.2

Sottrai $e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$

Passaggio 10.1.2.3

Combina i termini opposti in $- 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.3.1

Somma $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x + 0 - e^{y}$

Passaggio 10.1.2.3.2

Somma $e^{y} + x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x - e^{y}$

Passaggio 10.1.2.3.3

Sottrai $e^{y}$ da $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Passaggio 10.1.2.3.4

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Passaggio 11

Trova l'antiderivata di $x$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Passaggio 11.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Passaggio 11.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 12

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2} + C$