Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.3.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.3.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Passaggio 1.2.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 1.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}$

Passaggio 1.2.3.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.3.1.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ come $e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$