Calcolo Esempi

$m x d y = n y d x$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x$ da $m x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Passaggio 2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x y} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} m d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{y}$ e $m$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (n y) d x$

Passaggio 2.3.2

Scomponi $y$ da $n y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x} n d x$

Passaggio 2.4

$\frac{1}{x}$ e $n$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{n}{x} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{m}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Passaggio 3.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $m$ è costante rispetto a $y$ , sposta $m$ fuori dall'integrale.

$m \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Passaggio 3.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$m (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{n}{x} d x$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

$m \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{n}{x} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $n$ è costante rispetto a $x$ , sposta $n$ fuori dall'integrale.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$m \ln (| y |) + C_{1} = n (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$m \ln (| y |) = n \ln (| x |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$m \ln (| y |) - n \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2

Somma $n \ln (| x |)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$

Passaggio 4.3

Dividi per $\ln (| y |)$ ciascun termine in $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi per $\ln (| y |)$ ciascun termine in $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ .

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (| y |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Dividi $m$ per $1$ .

$m = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Passaggio 4.4

Riscrivi l'equazione come $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$

Passaggio 4.5

Moltiplica per $\ln (| y |)$ ciascun termine in $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ per $\ln (| y |)$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} \ln (| y |) + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

$\frac{C}{\ln (| y |)}$ e $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Passaggio 4.5.2.1.2

$\frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$ e $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = m \ln (| y |)$

Passaggio 4.6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Passaggio 4.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Elimina il fattore comune di $\ln (| y |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Passaggio 4.7.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Passaggio 4.7.2

Elimina il fattore comune di $\ln (| y |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Passaggio 4.7.2.2

Dividi $n \ln (| x |)$ per $1$ .

$C + n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = 0$

Passaggio 4.8

Sposta tutti i termini non contenenti $\ln (| y |)$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = - C$

Passaggio 4.8.2

Sottrai $n \ln (| x |)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$

Passaggio 4.9

Dividi per $- m$ ciascun termine in $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Dividi per $- m$ ciascun termine in $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ .

$\frac{- m \ln (| y |)}{- m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Passaggio 4.9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Passaggio 4.9.2.2

Elimina il fattore comune di $m$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Passaggio 4.9.2.2.2

Dividi $\ln (| y |)$ per $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Passaggio 4.9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Passaggio 4.9.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$

Passaggio 4.10

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Passaggio 4.11

Riscrivi $\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}} = | y |$

Passaggio 4.12

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$ .

$| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Passaggio 4.12.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$