Calcolo Esempi

$2 x y y' = x^{2} + 2 y^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $2 x y$ ciascun termine in $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Dividi per $2 x y$ ciascun termine in $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.3.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.3.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Passaggio 2.1.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.3.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Passaggio 2.1.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Passaggio 2.1.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{x}$

Passaggio 2.2

Riscrivi l'equazione differenziale come $f (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Metti in evidenza $\frac{x}{y}$ in $\frac{x}{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $\frac{x}{y}$ da $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{x}$

Passaggio 2.2.1.2

Riordina $\frac{x}{y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{x}{y}$ come ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

Passaggio 3

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Passaggio 4

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 5

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 6

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + V$

Passaggio 7.1.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + V$

Passaggio 7.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + V - V$

Passaggio 7.1.1.2.2

Combina i termini opposti in $\frac{1}{2 V} + V - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + 0$

Passaggio 7.1.1.2.2.2

Somma $\frac{1}{2 V}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$

Passaggio 7.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Passaggio 7.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Passaggio 7.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Passaggio 7.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 7.1.1.3.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2 V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V x}$

Passaggio 7.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica ogni lato per $2 V$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V (\frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 7.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2 V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Passaggio 7.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2 V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.2.1

Scomponi $2 V$ da $2 V x$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V (x)}$

Passaggio 7.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Passaggio 7.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 7.1.5

Riscrivi l'equazione.

$2 V d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $V$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $V$ rispetto a $V$ è $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ come $2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2.3.2.3

Moltiplica $V^{2}$ per $1$ .

$V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 7.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$V^{2} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 7.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$V = \pm \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 7.3.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 7.3.2.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.