Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = {(1 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = {(1 - 2 x)}^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int {(1 - 2 x)}^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int {(1 - 2 x)}^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 1 - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 1 - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3.1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 2.3.1.1.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \int u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.3.2.2

$u^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{u^{2}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{u^{2}}{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int u^{2} d u)$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3 \cdot 2} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} {(1 - 2 x)}^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{1}{6} {(1 - 2 x)}^{3} + K$