Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Sia $v = \frac{d y}{d x}$ . Allora $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sostituisci $v$ a $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ a $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ per ottenere un'equazione differenziale con una variabile dipendente $v$ e una variabile indipendente $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 9 v = 0$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 9$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 9 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- 9 x + C_{1}}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 9 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 9 x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 9 x}$ .

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 9 x} (- 9 v) = e^{- 9 x} \cdot 0$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 e^{- 9 x} v = e^{- 9 x} \cdot 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $e^{- 9 x}$ per $0$ .

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 e^{- 9 x} v = 0$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 e^{- 9 x} v = 0$ .

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 v e^{- 9 x} = 0$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 9 x} v] = 0$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 9 x} v] d x = \int 0 d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- 9 x} v = \int 0 d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{- 9 x} v = 0 + C_{2}$

Passaggio 7.2

Somma $0$ e $C_{2}$ .

$e^{- 9 x} v = C_{2}$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- 9 x}$ ciascun termine in $e^{- 9 x} v = C_{2}$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- 9 x}$ ciascun termine in $e^{- 9 x} v = C_{2}$ .

$\frac{e^{- 9 x} v}{e^{- 9 x}} = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 9 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 9 x} v}{e^{- 9 x}} = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

Passaggio 10

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}} d x$

Passaggio 11

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 11.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}} d x$

Passaggio 11.2

Applica la regola costante.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}} d x$

Passaggio 11.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 11.3.1

Poiché $C_{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $C_{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{- 9 x}} d x$

Passaggio 11.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 11.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{- 9 x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{- 9 x})}^{- 1} d x$

Passaggio 11.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- 9 x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 11.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- 9 x \cdot - 1} d x$

Passaggio 11.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{9 x} d x$

Passaggio 11.3.2.2.2

Moltiplica $e^{9 x}$ per $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{9 x} d x$

Passaggio 11.3.3

Sia $u = 9 x$ . Allora $d u = 9 d x$ , quindi $\frac{1}{9} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 11.3.3.1

Sia $u = 9 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 11.3.3.1.1

Differenzia $9 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 11.3.3.1.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Passaggio 11.3.3.1.4

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9$

Passaggio 11.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} \frac{1}{9} d u$

Passaggio 11.3.4

$e^{u}$ e $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{e^{u}}{9} d u$

Passaggio 11.3.5

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = C_{2} (\frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Passaggio 11.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \frac{1}{9} (e^{u} + C_{4})$

Passaggio 11.3.7

Semplifica.

$y + C_{3} = \frac{C_{2}}{9} e^{u} + C_{5}$

Passaggio 11.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x$ .

$y + C_{3} = \frac{C_{2}}{9} e^{9 x} + C_{5}$

Passaggio 11.3.9

Riordina i termini.

$y + C_{3} = \frac{1}{9} C_{2} e^{9 x} + C_{5}$

Passaggio 11.3.10

Riordina i termini.

$y + C_{3} = \frac{1}{9} e^{9 x} C_{2} + C_{5}$

Passaggio 11.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = \frac{1}{9} e^{9 x} C + D$