Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 2} \cdot \frac{y}{y^{2} + 3}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{y^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} (\frac{2 x}{x^{2} - 2} \cdot \frac{y}{y^{2} + 3})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{2 x}{x^{2} - 2}$ per $\frac{y}{y^{2} + 3}$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y^{2} + 3$ da $(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(y^{2} + 3) (x^{2} - 2)}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(y^{2} + 3) (x^{2} - 2)}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (2 x)}{x^{2} - 2}$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (2 x)}{x^{2} - 2}$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y^{2} + 3}{y} d y = \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y^{2} + 3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{y^{2}}{y} + \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{y^{2}}{y} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{y}{1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.5

Dividi $y$ per $1$ .

$\int y d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x^{2} - 2$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x^{2} - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x^{2} - 2 |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) = \ln (| x^{2} - 2 |) + C$