Calcolo Esempi

$(1 + e^{2 y}) d x + (2 x e^{2 y}) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(1 + e^{2 y}) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x e^{2 y} d y = - (1 + e^{2 y}) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (2 x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Passaggio 3.2

$2$ e $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x e^{2 y}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Passaggio 3.4

$\frac{2}{1 + e^{2 y}}$ e $e^{2 y}$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Passaggio 3.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $1 + e^{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ nel numeratore.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $1 + e^{2 y}$ da $x (1 + e^{2 y})$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Passaggio 3.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Passaggio 3.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Sia $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Allora $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sia $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Differenzia $1 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{2 y}]$

Passaggio 4.2.2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{2 y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Passaggio 4.2.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 4.2.2.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 4.2.2.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Passaggio 4.2.2.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Passaggio 4.2.2.1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Somma $0$ e $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + e^{2 y}$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) = - \ln (| x |) + C$