Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x + 2 x y^{2})}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $x + 2 x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x^{1} + 2 x y^{2})}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + 2 x y^{2})}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x$ da $2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + x (2 y^{2}))}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (2 y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x (1 + 2 y^{2}))}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $y (1 + 2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = y (1 + 2 y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y \cdot y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sposta $y^{2}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y)) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Passaggio 1.5.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y^{1})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Passaggio 1.5.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{2 + 1}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Passaggio 1.5.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Passaggio 1.5.5

Combina.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2} \cdot 1}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2}}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

Passaggio 1.5.7

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.7.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.5.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.7.2.1

Scomponi $x$ da $4 x y (1 + 2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

Passaggio 1.5.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

Passaggio 1.5.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica $y + 2 y^{3}$ per $\frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.5.9

Scomponi $y$ da $y + 2 y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.9.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.5.9.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.5.9.3

Scomponi $y$ da $2 y^{3}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (2 y^{2})) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.5.9.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.5.10

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.10.1

Elimina il fattore comune.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.5.10.2

Riscrivi l'espressione.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.5.11

Elimina il fattore comune di $1 + 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.11.1

Elimina il fattore comune.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

Passaggio 1.5.11.2

Riscrivi l'espressione.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$y (1 + 2 y^{2}) d y = \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y (1 + 2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int y \cdot 1 + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riordina $y$ e $1$ .

$\int 1 \cdot y + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.3

Riordina $y$ e $2$ .

$\int 1 \cdot y + 2 \cdot y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int y + 2 y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y + 2 (y^{1} y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y + 2 y^{1 + 2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.7

Somma $1$ e $2$ .

$\int y + 2 y^{3} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.8

Riordina $y$ e $2 y^{3}$ .

$\int 2 y^{3} + y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

$\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$2 (\frac{y^{4}}{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.6.2

Semplifica.

$\frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.2.6.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ come $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{2} + K$