Calcolo Esempi

$y^{3} \frac{d y}{d x} = (y^{4} + 1) \cos (x)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{4} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) \cos (x))$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{4} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{4} + 1$ da $(y^{4} + 1) \cos (x)$ .

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) (\cos (x)))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) \cos (x))$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \cos (x)$

Passaggio 1.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \cos (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

$\frac{1}{y^{4} + 1}$ e $y^{3}$ .

$\int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $y^{4}$ come ${(y^{4})}^{1}$ .

$\int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u_{1} = y^{4}$ . Allora $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u_{1} = y^{4}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 y^{3}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Semplifica.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{u_{1} + 1}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.3

Sposta $4$ alla sinistra di $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Sia $u_{2} = u_{1} + 1$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Sia $u_{2} = u_{1} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Differenzia $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Passaggio 2.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{1} + 1$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 2.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 2.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 2.2.8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.8.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) = \sin (x) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |)) = 4 (\sin (x) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $4 (\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| y^{4} + 1 |)$ .

$4 \frac{\ln (| y^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\sin (x) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{\ln (| y^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\sin (x) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 (\sin (x) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 \sin (x) + 4 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 |)} = e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 \sin (x) + 4 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 \sin (x) + 4 C} = | y^{4} + 1 |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| y^{4} + 1 | = e^{4 \sin (x) + 4 C}$ .

$| y^{4} + 1 | = e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y^{4} + 1 = \pm e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{4} = \pm e^{4 \sin (x) + 4 C} - 1$

Passaggio 3.5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x) + 4 C} - 1}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x) + C} - 1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{4 \sin (x) + C}$ come $e^{4 \sin (x)} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x)} e^{C} - 1}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{4 \sin (x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{C} e^{4 \sin (x)} - 1}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \pm \sqrt[4]{C e^{4 \sin (x)} - 1}$