Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{1 - y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \cdot \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $\sqrt{1 - y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \cdot \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 1 - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 1 - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ come $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - y$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ .

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi ${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (| x |)}{- 2}$ come $\frac{1}{- 2} \ln (| x |)$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{- 2} \ln (| x |) + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Semplifica $\frac{1}{- 2} \ln (| x |)$ spostando $- \frac{1}{- 2}$ all'interno del logaritmo.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{- \frac{1}{- 2}}) + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{- - \frac{1}{2}}) + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{1 (\frac{1}{2})}) + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 - y)}^{1} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica.

$1 - y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$ come $- {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$ .

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.3

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + 1$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} + 1$