Calcolo Esempi

$x y (\frac{d y}{d x}) = x^{2} + 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $\frac{x}{y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $\frac{x}{y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.2.2.2

Riordina i fattori di $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{x y}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{x^{2} + 1}{x}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 3.3

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$